Apilado compacto de pelotas de futbol
Un problema fisicomatemático: apilado compacto de pelotas de futbol
Oscar E. Piro
Departamento de Física, Universidad de La Plata e Instituto IFLP (CONICET-CCT La Plata), (1900) La Plata, Argentina
El futbol es un juego popular en todo el mundo. Un grupo de aficionados argentinos se propuso construir una pirámide de base triangular apilando pelotas de futbol con N = 7 balones de lado en la base de la pirámide (ver figura de una pirámide con N = 5 balones). ¿Cuántos balones serán necesarios para completar la tarea? ¿Es posible derivar una ecuación general para cualquier número N de balones de lado en la base?
El arreglo no es sólo una construcción geométrica, sino también la forma que en la Naturaleza se empaquetan los átomos de muchas sustancias cristalinas, tales como los metales aluminio y cobre y la sal cloruro de sodio. Dicho arreglo define una red llamada cúbica centrada en las caras (redes ccc) y es una forma compacta de arreglar esferas idénticas.
El apilado comienza con la base triangular de la pirámide conteniendo los centros de los balones en los nodos de un arreglo de triángulos equiláteros de lado igual al diámetro (D) de las esferas, embebidos en un triángulo equilátero mayor que constituye la base de la pirámide, como se muestra en la figura siguiente para N = 5 (primera capa, A), En la segunda capa (B) los balones se disponen en los nodos de una réplica de la capa A luego de eliminar los nodos de la base del triángulo y desplazar verticalmente el resto hacia abajo en 2/3 de la altura de los triángulos elementales (= ) y hacia arriba del plano horizontal en . Mediante la repetición del procedimiento para construir las capas superiores, llegamos a una (la capa N-ésima) conteniendo un solo balón en el vértice de la pirámide.
Debug data:
